Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng A B C D trùng với trọng tâm G của tam giác ABD. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng một góc 60°. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

Gọi O là tâm của hình vuông và N là trung điểm của AB.

Khi đó G là giao điểm của AC và DN.

Tam giác SGD vuông tại G nên  $\widehat{SDG}$ nhọn.

Do SG ^ (ABCD) nên  $\left(\widehat{SD;\left(ABCD\right)}\right)=\left(\widehat{SD;DG}\right)=\widehat{SDG}=60°$

Tam giác NAD vuông tại A nên  $DN=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Suy ra  $GD=\frac{a\sqrt{5}}{3}$

Do đó  $SG=GD.\tan \widehat{SDG}=\frac{a\sqrt{15}}{3}$

Ta có CD // AB mà CD Ì (SCD) nên AB // (SCD).

Ta có:  $AC=\frac{3}{2}GC$

Suy ra  $d\left(AB;SC\right)=d\left(AB;\left(SCD\right)\right)=d\left(A;\left(SCD\right)\right)=\frac{3}{2}d\left(G;\left(SCD\right)\right)$

Từ G kẻ đường thẳng song song với AD, cắt CD tại M thì CD ^ (SGM)

Suy ra (SCD) ^ (SGM).

Hai mặt phẳng (SCD) và (SGM) cắt nhau theo giao tuyến SM.

Từ G kẻ GH ^ SM, H Î SM thì GH ^ (SCD).

Do đó d(G; (SCD)) = GH

Ta có:  $GM=\frac{2a}{3}$ và tam giác SGM vuông tại G có đường cao GH nên

 $GH=\frac{SG.GM}{\sqrt{S{G}^2+G{M}^2}}=\frac{\frac{a\sqrt{15}}{3}.\frac{2a}{3}}{\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{15}}{3}\right)}^2+{\left(\frac{2a}{3}\right)}^2}}=\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{15}{19}}$.

Vậy  $d\left(AB;SC\right)=\frac{3}{2}.\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{15}{19}}=a\sqrt{\frac{15}{19}}$.