Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy bằng 3a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45°. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng:

Ta có:  $\left(\widehat{SA;\left(ABC\right)}\right)=\left(\widehat{SA;AO}\right)=\widehat{SAO}=45°$

Xét ∆ABC đều

Gọi M là trung điểm của BC suy ra

$AM=\frac{\sqrt{3}}{2}.3a=\frac{3\sqrt{3}a}{2}$

Do O là trọng tâm của ∆ABC suy ra

$\frac{AO}{AM}=\frac{2}{3}\Rightarrow AO=\frac{2}{3}.AM=\frac{2}{3}.\frac{3\sqrt{3}a}{2}=a\sqrt{3}$

Xét ∆SAO vuông tại O có: 

$\tan \widehat{SAO}=\frac{SO}{OA}\iff SO=OA.\tan \widehat{SAO}=a\sqrt{3}.\tan 45°=a\sqrt{3}$

$\cos \widehat{SAO}=\frac{OA}{SA}\iff SA=\frac{OA}{\cos \widehat{SAO}}=\frac{a\sqrt{3}}{\cos 45°}=a\sqrt{6}$

$\Rightarrow R=\frac{S{A}^2}{2.SO}=\frac{{\left(a\sqrt{6}\right)}^2}{2.a\sqrt{3}}=a\sqrt{3}$

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi .{\left(a\sqrt{3}\right)}^3=4\pi \sqrt{3}.a^3$