Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm tam giác SAB. Điều kiện nào của AB và CD để thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (IJG) là hình bình hành?

Đáp án D

Phương pháp giải:

Dựa vào các yếu tố song song xác định thiết diện.

Giải chi tiết:

Qua G dựng EF song song AB (\[E \in SB,F \in SA\])

IJ là đường trung bình của hình thang ABCD \[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{IJ{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD}\\{IJ = \frac{{AB + CD}}{2}}\end{array}} \right.\]

Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{IJ{\rm{//}}AB}\\{AB{\rm{//}}EF}\end{array}} \right. \Rightarrow IJ{\rm{//}}EF \Rightarrow I,J,E,F\] đồng phẳng

\[ \Rightarrow I,J,E,F,G\] đồng phẳng

\[ \Rightarrow \left( {GIJ} \right) \equiv \left( {IJEF} \right)\]

Thiết diện của \[\left( {GIJ} \right)\] với hình chóp là hình thang \[IJEF,{\mkern 1mu} \left( {IJ{\rm{//}}EF} \right)\]

Để thiết diện là hình bình hành thì \[IJ = EF \Leftrightarrow \frac{{AB + CD}}{2} = \frac{2}{3}AB\] (do \[\frac{{EF}}{{AB}} = \frac{{SE}}{{SB}} = \frac{{SG}}{{SM}} = \frac{2}{3}\])

\[ \Leftrightarrow 3AB + 3CD = 4AB \Leftrightarrow AB = 3CD\]