Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC và cạnh AB lần lượt lấy điểm M và N sao cho CM = 2SM và BN = 2AN

Bài 4.43 trang 103 Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC và cạnh AB lần lượt lấy điểm M và N sao cho CM = 2SM và BN = 2AN.

a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng (ABM) với đường thẳng SD. Tính tỉ số $\frac{SK}{SD}$ .

b) Chứng minh rằng MN // (SAD).

Trả lời

a) Trong mặt phẳng (SCD), từ M kẻ MK song song với CD (K thuộc SD).

Vì CD // AB (ABCD là hình bình hành) nên MK // AB. Do đó, MK nằm trong mặt phẳng (ABM) hay K thuộc mặt phẳng (ABM). Mà K thuộc SD, do vậy K là giao điểm của mặt phẳng (ABM) với đường thẳng SD.

Xét tam giác SCD có KM // CD, theo định lí Thalés ta có: $\frac{SK}{SD}=\frac{SM}{SC}=\frac{KM}{CD}$ .

Mà CM = 2SM, suy ra $\frac{SM}{SC}=\frac{1}{3}$ .

Vậy $\frac{SK}{SD}=\frac{1}{3}$ .

b) Từ câu a ta suy ra $\frac{KM}{CD}=\frac{1}{3}$ .

Mà BN = 2AN, suy ra $\frac{AN}{AB}=\frac{1}{3}$ .

Do đó, $\frac{AN}{AB}=\frac{KM}{CD}$ , mà AB = CD (do ABCD là hình bình hành) nên AN = KM.

Mà KM // AN (do KM // AB).

Xét tứ giác ANMK có KM = AN và KM // AN nên tứ giác ANMK là hình bình hành.

Suy ra AK // MN.

Vì K thuộc SD nên K thuộc mặt phẳng (SAD), suy ra AK nằm trong mặt phẳng (SAD).

Khi đó đường thẳng MN song song với đường thẳng AK và đường thẳng AK nằm trong mặt phẳng (SAD). Vậy MN song song với mặt phẳng (SAD).

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 13: Hai mặt phẳng song song

Bài 14: Phép chiếu song song

Bài tập cuối chương 4

Bài 15: Giới hạn của dãy số

Bài 16: Giới hạn của hàm số

Bài 17: Hàm số liên tục