Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó SH ⊥ (SAB).

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, dựng đường thẳng d đi qua O và vuông góc với (ABC).

Khi đó d // SH

Dựng đường trung trực của (SAB), cắt d tại I.

Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC.

Gọi K là giao điểm của SH và mặt phẳng trung trực của (SAB).

Do đó tứ giác IKHO là hình chữ nhật, K là trọng tâm tam giác SAB.

Khi đó: R = SI = IA = IB = IC là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC.

• Tam giác ABC đều có cạnh là 1 nên \(CH = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow OC = \frac{2}{3}CH = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

• Tam giác SAB đều có cạnh là 1 nên \(SH = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow HK = \frac{1}{3}SH = \frac{{\sqrt 3 }}{6} = IO\)

Xét tam giác IOC vuông tại O ta có:

\(IC = \sqrt {O{I^2} + O{C^2}} = \sqrt {\frac{3}{{36}} + \frac{1}{3}} = \sqrt {\frac{5}{{12}}} = \frac{{\sqrt {15} }}{6}\).

Vậy \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi .{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{3}} \right)^3} = \frac{{5\pi \sqrt {15} }}{{54}}\).