Cho hình bình hành ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD . Đường chéo BD cắt AN , CM theo thứ tự ở E và K. Chứng minh:

a) AMCN là hình bình hành.

b) DE = KB.

c) AK đi qua trung điểm của I của BC.

a) Hình bình hành ABCD có AB = CD
$\frac{1}{2}$ ​AB = AM = $\frac{1}{2}$ CD = CN

Mặt khác, M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD

Do đó: AM//CN

Tứ giác AMCN có cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên là hình bình hành.

b) Tứ giác AMCN là hình bình hành

⇒ $\widehat{M_1}=\widehat{N_1}$ ​​ (Hai góc đối của hình bình hành AMCN)

⇒ ​​$\widehat{M_2}=\widehat{N_2}$ (Do $\widehat{M_1}$ và $\widehat{M_2}$ là hai góc kề bù; $\widehat{N_1}$ và $\widehat{N_2}$ là hai góc kề bù)

Mặt khác, ABCD là hình bình hành nên AB//CD ⇒ $\widehat{B_1}=\widehat{D_1}$

Xét ΔEDN và ΔKBM có:

$\widehat{M_2}=\widehat{N_2}$

DN=BM

$\widehat{B_1}=\widehat{D_1}$

⇒ΔEDN=ΔKBM(g.c.g)

⇒ ED = KB (đpcm)

c) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

ABCD là hình bình hành

⇒ OA=OC

Xét trong ΔCAB có:

MA = MB

OA = OC

MC cắt OB tại K

⇒ K là trọng tâm của ΔCAB

Mặt khác, I là trung điểm của BC

⇒ IA, OB, MC đồng quy tại K

Hay AK đi qua trung điểm I của BC (đpcm).