Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = 2m\\x + my = m + 1\end{array} \right.\).

 Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) là các số nguyên.

\(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = 2m\left( 1 \right)\\x + my = m + 1\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ (2) suy ra: x = m + 1 – my (3)

Thế (3) vào (1) ta có:

m(m + 1 – my) + y = 2m

⇔ m² + m – m²y + y = 2m

⇔ y(1 – m²) = m – m²

⇔ y(1 – m)(1 + m) = m(1 – m) (4)

+) Với m = 1 thì (4) trở thành 0y = 0, phương trình có vô số nghiệm

Suy ra: hệ phương trình có vô số nghiệm

+) Với m = –1 thì (4) có dạng 0y = –2, phương trình vô nghiệm

Suy ra: hệ phương trình có vô nghiệm

+) Với m ≠ ±1, phương trình có nghiệm duy nhất:

\(y = \frac{{m\left( {1 - m} \right)}}{{\left( {1 - m} \right)\left( {1 + m} \right)}} = \frac{m}{{1 + m}}\)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

\(\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{m}{{1 + m}}\\x = \frac{{2m + 1}}{{1 + m}}\end{array} \right.\)

Để hệ có nghiệm duy nhất là các số nguyên thì: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{m}{{1 + m}} \in \mathbb{Z}\\\frac{{2m + 1}}{{1 + m}} \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{m + 1 - 1}}{{1 + m}} \in \mathbb{Z}\\\frac{{2m + 2 - 1}}{{1 + m}} \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 1}}{{1 + m}} \in \mathbb{Z}\\\frac{{ - 1}}{{1 + m}} \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Suy ra: – 1 chia hết cho 1 + m

Suy ra: 1 + m = 1 hoặc 1 + m = –1

Hay m = 0 hoặc m = –2

Vậy m = 0 hoặc m = –2.