Cho hàm số y = x³ + 3x² + m có đồ thị (C). Biết đồ thị (C) cắt trục hoành tạị 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho B là trung điểm của AC. Phát biểu nào sau đây đúng?

A. m ∈ (0; +∞);

B. m ∈ (−∞; −4);

C. m ∈ (−4; 0);

D. m ∈ (−4; −2).

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

x³ + 3x² + m = 0 (1)

Vì đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho B là trung điểm của AC nên phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt lập thành 1 cấp số cộng.

Gọi 3 nghiệm đó lần lượt là: x₀ – d; x₀; x₀ + d (d ≠ 0)

Theo định lí Vi-ét, ta có:

\[{x_0} - d + {x_0} + {x_0} + d = \frac{{ - b}}{a} = - 3\]

⇔ 3x₀ = −3 ⇔ x₀ = −1 (là một nghiệm của phương trình (1))

⇒ (−1)³ + 3.(−1)² + m = 0

⇔ m + 2 = 0

⇔ m = −2 ⇒ m ∈ (−4; 0).