Cho hàm số y = x³ − 3mx² + 2 có đồ thị (C_m) và đường thẳng Δ: y = −x + 2. Biết (C_m) có hai cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C_m) đến đường thẳng Δ bằng $\sqrt{2}$. Tìm m.

Xét y’ = 0, ta có:

y’ = 3x² – 6mx = 3x(x – 2m) = 0

$\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=2m\end{array}\right.$

Điều kiện để có hai cực trị là 2m ¹ 0 hay m ¹ 0.

Tọa độ 2 điểm cực trị là: A(0; 2) và B(2m; 2 – 4m³)

Nếu m < 0: A là điểm cực tiểu.

Khi đó d(A; ∆) = 0 ¹ $\sqrt{2}$ (loại)

Nếu m > 0 thì B là cực tiểu

Khi đó $d(B;\Delta )=\sqrt{2}\iff \left|2m^3-m\right|=1$

$\iff \left[\begin{array}{c}2m^3-m=1\\ 2m^3-m=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}m=1\\ m=-1\end{array}\right.$

Do m > 0 nên m = 1.

Vậy m = 1.