Cho hàm số \(y = {x^3} - 3mx + 1.\) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A, với A(2, 3).

TXĐ: D = ℝ.

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 3m = 0\) ⇔ x² = m.

Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có hai điểm cực trị ⇔ m > 0.

\(y' = 0\) ⇔ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \sqrt m }\\{x = - \sqrt m }\end{array}} \right.\) ⇒ \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = - 2m\sqrt m + 1}\\{y = 2m\sqrt m + 1}\end{array}} \right.\]

⇒ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{B\left( {\sqrt m ;\,\, - 2m\sqrt m + 1} \right)}\\{C\left( { - \sqrt m ;\,\,2m\sqrt m + 1} \right)}\end{array}} \right.\)

∆ABC cân tại A ⇒ AB = AC ⇔ AB² = AC²

⇔ \({\left( {\sqrt m - 2} \right)^2} + {\left( { - 2m\sqrt m - 2} \right)^2} = {\left( { - \sqrt m - 2} \right)^2} + {\left( {2m\sqrt m - 2} \right)^2}\)

⇔ \(m - 4\sqrt m + 4 + 4{m^3} + 8m\sqrt m + 4 = m + 4\sqrt m + 4 + 4{m^3} - 8m\sqrt m + 4\)

⇔ \(8\sqrt m - 16m\sqrt m = 0\)

⇔ \(8\sqrt m \left( {1 - 2m} \right) = 0\)

⇔ \(m = \frac{1}{2}\) (do m > 0)

Vậy \(m = \frac{1}{2}.\)