Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ và có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \left( {1 - x} \right)\left( {x + 2} \right)g\left( x \right) + 2018\) trong đó g(x) < 0, ∀x ∈ ℝ. Hàm số y = f(1 – x) + 2018x + 2019 nghịch biến trên khoảng nào?

Vì \(f'\left( x \right) = \left( {1 - x} \right)\left( {x + 2} \right)g\left( x \right) + 2018\)

⇒ \(f'\left( {1 - x} \right) = \left( {1 - \left( {1 - x} \right)} \right)\left( {\left( {1 - x} \right) + 2} \right)g\left( {1 - x} \right) + 2018\)

\( = x\left( {3 - x} \right)g\left( {1 - x} \right) + 2018\)

Ta có: y = f(1 – x) + 2018x + 2019

⇒ \(y' = f'\left( {1 - x} \right).{\left( {1 - x} \right)^\prime } + 2018 = - f'\left( {1 - x} \right) + 2018\)

\( = - \left[ {x\left( {3 - x} \right)g\left( {1 - x} \right) + 2018} \right] + 2018 = x\left( {x - 3} \right)g\left( {1 - x} \right)\)

Mà g(x) < 0, ∀x ∈ ℝ, suy ra, để hàm số nghịch biến thì x(x – 3) ≥ 0

⇔ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 0}\\{x \ge 3}\end{array}} \right.\)

Vậy hàm số y = f(x) nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0), (3; +∞).