Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x – 1)^2(x^2 – 2x) với mọi x ∈ ℝ. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x – 1)²(x² – 2x) với mọi x ∈ ℝ. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = f(x² – 8x + m) có 5 điểm cực trị?

Trả lời

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)={(x-1)}^2\left(x^2-2x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=2\end{array}\right..$

Đặt $g\left(x\right)=f\left(x^2-8x+m\right).$ Ta có: $g^{\text{'}}\left(x\right)=(2x-8)f^{\text{'}}\left(x^2-8x+m\right)$

$\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=4\\ f^{\text{'}}(x^2-8x+m)=0\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}x=4\\ x^2-8x+m=1\left(1\right)\\ x^2-8x+m=0\left(2\right)\\ x^2-8x+m=2\left(3\right)\end{array}\right.\right.$

Để hàm số g(x) có 5 điểm cực trị thì $g^{\text{'}}\left(x\right)=0$ có 5 nghiệm đơn phân biệt $\iff$ phương trình (2); (3) có 2 nghiệm phân biệt khác $4\iff \left\{\begin{array}{l}16-m>0\\ 18-m>0\\ m-16\ne 0\\ m-18\ne 0\end{array}\iff m<16\right.$

Vì m nguyên dương nên có 15 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn D