Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị dương trên [0;1]. Biết f(x) .f(1-x) =1 với mọi x thuộc [0;1].

Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị dương trên [0;1].

Biết $f\left(x\right)\cdot f(1-x)=1$ với mọi $x\in [0;1]$. Tính giá trị $I={\int }_0^1\frac{dx}{1+f\left(x\right)}.$

Trả lời

Ta có $1+f\left(x\right)=f\left(x\right)f(1-x)+f\left(x\right)\Rightarrow \frac{f\left(x\right)}{1+f\left(x\right)}=\frac{1}{f(1-x)+1}.$

Xét $I={\int }_0^1\frac{dx}{1+f\left(x\right)}$. Đặt $t=1-x\iff x=1-t\Rightarrow dx=-dt.$

Đổi cận $x=0\Rightarrow t=1;x=1\Rightarrow t=0.$

Khi đó,$I=-{\int }_1^0\frac{\text{d}t}{1+f(1-t)}={\int }_0^1\frac{\text{d}t}{1+f(1-t)}={\int }_0^1\frac{dx}{1+f(1-x)}={\int }_0^1\frac{f\left(x\right)dx}{1+f\left(x\right)}$

Mặt khác, ${\int }_0^1\frac{dx}{1+f\left(x\right)}+{\int }_0^1\frac{f\left(x\right)dx}{1+f\left(x\right)}={\int }_0^1\frac{1+f\left(x\right)}{1+f\left(x\right)}dx={\int }_0^{1}dx=1$ hay $2I=1.$

Vậy $I=\frac{1}{2}.$

Chọn B