Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn tích phân từ 0 đến pi/4 tanx.f(cos^2x)dx=2

Trả lời

Ta có:  $A=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\tan x.f\left({\cos }^{2}x\right)dx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{\sin x}{\cos x}.f\left({\cos }^{2}x\right)dx$

$=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{\sin x.\cos x}{{\cos }^{2}x}.f\left({\cos }^{2}x\right)dx=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{\sin 2x}{{\cos }^{2}x}.f\left({\cos }^{2}x\right)dx$

Đặt cos² x = t Þ 2sin x.cos x dx = −dt

Þ sin 2x dx = −dt

Đổi cận:  $\left\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow t=1\\ x=\frac{\pi }{4}\Rightarrow t=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Khi đó  $A=-\frac{1}{2}\underset{1}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\frac{f\left(t\right)}{t}dt=\frac{1}{2}\underset{\frac{1}{2}}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(t\right)}{t}dt=2$

 Lại có:  $\underset{e}{\overset{e^2}{\int }}\frac{f\left({\ln }^{2}x\right)}{x.\ln x}dx=\frac{1}{2}\underset{e}{\overset{e^2}{\int }}\frac{f\left({\ln }^{2}x\right)}{{\ln }^{2}x}.\frac{2\ln x}{x}dx$

Đặt ln² x = t

$\Rightarrow \frac{2\ln x}{x}dx=dt$

Đổi cận:  $\left\{\begin{array}{l}x=e\Rightarrow t=1\\ x=e^2\Rightarrow t=4\end{array}\right.$

Khi đó $B=\frac{1}{2}\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{f\left(t\right)}{t}dt=2$

 Tính $I=\underset{\frac{1}{4}}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(2x\right)}{x}dx=\underset{\frac{1}{4}}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(2x\right)}{2x}.2dx=\underset{\frac{1}{4}}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(2x\right)}{2x}d\left(2x\right)$

$=\underset{\frac{1}{2}}{\overset{4}{\int }}\frac{f\left(t\right)}{t}dt=\underset{\frac{1}{2}}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(t\right)}{t}dt+\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{f\left(t\right)}{t}dt$

= 4 + 4 = 8.