Cho hàm số f (x) liên tục trên R và có tích phân từ 0 đến 2 f(x)dx =3

Trả lời

Ta có:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(\left|2x\right|\right)dx=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}f\left(\left|2x\right|\right)dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(\left|2x\right|\right)dx$

$=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}f\left(-2x\right)dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(2x\right)dx$

Đặt t = −2x Þ dt = −2 dx  $\Rightarrow dx=\frac{-1}{2}dt$

Đổi cận:  $\left\{\begin{array}{l}x=-1\Rightarrow t=2\\ x=0\Rightarrow t=0\end{array}\right.$

Đặt u = 2x Þ du = 2 dx  $\Rightarrow dx=\frac{1}{2}du$

Đổi cận:  $\left\{\begin{array}{l}x=1\Rightarrow u=2\\ x=0\Rightarrow u=0\end{array}\right.$

Khi đó  $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(\left|2x\right|\right)dx=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}f\left(-2x\right)dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(2x\right)dx$

$=\underset{2}{\overset{0}{\int }}\frac{-f\left(t\right)}{2}dt+\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(u\right)}{2}du$

$=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(t\right)}{2}dt+\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(u\right)}{2}du$

$=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{2}dx+\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{2}dx$

$=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=3$

Vậy  $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(\left|2x\right|\right)dx=3$.