Cho hàm số \((C):y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\)

Cho điểm M(0; m). Xác định m để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho 2 tiếp tuyến tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox.

Đường thẳng d đi qua điểm M, hệ số góc k có phương trình y = kx + m

d là tiếp tuyến \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + 2}}{{x - 1}} = k{\rm{x}} + m\\\frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = k\end{array} \right.\) có nghiệm

Thay \(k = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) vào phương trình y = kx + m ta được:

\(\frac{{x + 2}}{{x - 1}} = \frac{{ - 3{\rm{x}}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + m\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3{\rm{x}}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \frac{{m{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

⇔ x² + x – 2 = –3x + m(x² – 2x + 1)

⇔ x² + x – 2 = –3x + mx² – 2mx + m

⇔ (m – 1)x² – 2(m + 2)x + m + 2 = 0                              (*)

Để từ M kẻ được hai tiếp tuyến thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 3\left( {m + 2} \right) > 0\\m \ne 1\\m - 1 - 2\left( {m + 2} \right) + m + 2 \ne 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 2\\m \ne 1\end{array} \right.\)

Khi đó tọa độ hai điểm là M₁(x₁; y₁) và M₂(x₂; y₂) với x₁; x₂ là nghiệm của phương trùnh (*) và \({y_1} = \frac{{{x_1} + 2}}{{{x_1} - 1}};{y_2} = \frac{{{x_2} + 2}}{{{x_2} - 1}}\)

Để M₁; M₂ nằm về hai phía của Ox thì y₁ . y₂ = 0

\( \Leftrightarrow \frac{{{x_1} + 2}}{{{x_1} - 1}}.\frac{{{x_2} + 2}}{{{x_2} - 1}} < 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right)}}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}} < 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{x_1}{x_2} + 2{x_1} + 2{{\rm{x}}_2} + 4}}{{{x_1}{x_2} - {x_1} - {x_2} + 1}} < 0\)

Áp dụng định lý Vi – ét ta có

\[{{\rm{x}}_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m + 2} \right)}}{{m - 1}};{x_1}{x_2} = \frac{{m + 2}}{{m - 1}}\]

Suy ra \(\frac{{\frac{{m + 2}}{{m - 1}} + \frac{{4\left( {m + 2} \right)}}{{m - 1}} + 4}}{{\frac{{m + 2}}{{m - 1}} - \frac{{2\left( {m + 2} \right)}}{{m - 1}} + 1}} < 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {m + 2} \right) + 4\left( {m + 2} \right) + 4\left( {m - 1} \right)}}{{\left( {m + 2} \right) - 2\left( {m + 2} \right) + \left( {m - 1} \right)}} < 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{9m + 6}}{{ - 3}} < 0\)\( \Leftrightarrow 9m + 6 > 0\)\( \Leftrightarrow m > \frac{{ - 2}}{3}\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}m > - 2\\m \ne 1\end{array} \right.\)

Suy ra \(m > \frac{{ - 2}}{3};m \ne 1\)

Vậy \(m > \frac{{ - 2}}{3};m \ne 1\).