Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn các điều kiện |z1|  |z2|  2 và |z1 + 2z2|  4. Tính giá trị của |2z1 − z2|.

Trả lời

Giả sử z₁ = a + bi (a, b Î ℝ), z₂ = c + di (c, d Î ℝ)

Theo giả thiết, ta có:  $\left\{\begin{array}{l}\left|z_1\right|=2\\ \left|z_2\right|=2\\ \left|z_1+2z_2\right|=4\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=4\\ c^2+d^2=4\\ {\left(a+2c\right)}^2+{\left(b+2d\right)}^2=16\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=4\left(1\right)\\ c^2+d^2=4\left(2\right)\\ a^2+b^2+4\left(c^2+d^2\right)+4\left(ac+bd\right)=16\left(3\right)\end{array}\right.$

Thay (1), (2) vào (3) ta được: ac + bd = −1 (4)

Ta có:   $\left|2z_1-z_2\right|=\sqrt{{\left(2a-c\right)}^2+{\left(2b-d\right)}^2}$

 $=\sqrt{4\left(a^2+b^2\right)+\left(c^2+d^2\right)-4\left(ac+bd\right)}\left(5\right)$

Thay (1), (2), (4) vào (5) ta có:  $\left|2z_1-z_2\right|=\sqrt{4.4+4-4.\left(-1\right)}=2\sqrt{6}$.