Cho hai hàm số  f(x) =ax^3+bx^2+cx-1/2 và g (x) = dx^2 + ex + 1

Trả lời

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f (x) và g (x) là: 

$a{x}^3+b{x}^2+cx-\frac{1}{2}=d{x}^2+ex+1$

$\iff a{x}^3+\left(b-d\right)x^2+\left(c-e\right)x-\frac{3}{2}=0\left(*\right)$

Do đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại ba điểm suy ra phương trình (*) có ba nghiệm là −3; −1; 1.

Ta được $a\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)=a{x}^3+\left(b-d\right)x^2+\left(c-e\right)x-\frac{3}{2}$

$\iff a\left(x+3\right)\left(x^2-1\right)=a{x}^3+\left(b-d\right)x^2+\left(c-e\right)x-\frac{3}{2}$

$\iff a{x}^3+3a{x}^2-ax-3a=a{x}^3+\left(b-d\right)x^2+\left(c-e\right)x-\frac{3}{2}$

Đồng nhất hai vế ta suy ra:

$\left\{\begin{array}{l}3a=b-d\\ -a=c-e\\ -3a=-\frac{3}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b-d=\frac{3}{2}\\ c-e=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là

$S=\underset{-3}{\overset{-1}{\int }}\left(\frac{1}{2}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)dx+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(-\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\right)dx$

$={\left.\left(\frac{x^4}{8}+\frac{x^3}{2}-\frac{x^2}{4}-\frac{3x}{2}\right)\right|}_{-3}^{-1}+{\left.\left(-\frac{x^4}{8}-\frac{x^3}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{3x}{2}\right)\right|}_{-1}^1$

$=\frac{{\left(-1\right)}^4}{8}+\frac{{\left(-1\right)}^3}{2}-\frac{{\left(-1\right)}^2}{4}-\frac{3.\left(-1\right)}{2}-\frac{{\left(-3\right)}^4}{8}-\frac{{\left(-3\right)}^3}{2}+\frac{{\left(-3\right)}^2}{4}+\frac{3.\left(-3\right)}{2}$

$-\frac{1^4}{8}-\frac{1^3}{2}+\frac{1^2}{4}+\frac{3.1}{2}+\frac{{\left(-1\right)}^4}{8}+\frac{{\left(-1\right)}^3}{2}-\frac{{\left(-1\right)}^2}{4}-\frac{3.\left(-1\right)}{2}$

$=\frac{1}{8}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{3}{2}-\frac{81}{8}+\frac{27}{2}+\frac{9}{4}-\frac{9}{2}-\frac{1}{8}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{2}+\frac{1}{8}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{3}{2}$= 4.