Cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng diện tích tam giác GAC bằng $\frac{1}{3}$  diện tích tam giác ABC.

Gọi M là trung điểm BC. Suy ra $MB=MC=\frac{1}{2}BC$  .

Kẻ CH ⊥ AM.

Tam giác ABC có G là trọng tâm.

Suy ra $AG=\frac{2}{3}AM$ .

Ta có $S_{\Delta AGC}=\frac{1}{2}CH.AG=\frac{1}{2}CG.\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}CG.AM=\frac{2}{3}.S_{\Delta AMC}$  .

Kẻ AK ⊥ BC.

Ta có $S_{\Delta AMC}=\frac{1}{2}.AK.MC=\frac{1}{2}AK.\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}AK.BC=\frac{1}{2}.S_{\Delta ABC}$ .

Vì vậy $S_{\Delta AGC}=\frac{2}{3}.S_{\Delta AMC}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}.S_{\Delta ABC}$ .

Vậy diện tích tam giác GAC bằng $\frac{1}{3}$  diện tích tam giác ABC.