Cho f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [−1; 1] và  tích phân từ -1 đến 1 của f(x)dx=4

Trả lời

Đặt t = −x Þ dt = − dx

Đổi cận:  $\left\{\begin{array}{l}x=1\Rightarrow t=-1\\ x=-1\Rightarrow t=1\end{array}\right.$, khi đó:

$I=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{1+e^x}dx=-\underset{1}{\overset{-1}{\int }}\frac{f\left(-t\right)}{1+e^{-t}}dt=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(-t\right)}{1+\frac{1}{e^t}}dt$

$=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(-t\right)}{\frac{e^t+1}{e^t}}dt=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{e^t.f\left(-t\right)}{e^t+1}dt=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{e^x.f\left(-x\right)}{e^x+1}dx$

Do f (x) là hàm số chẵn nên f (x) = f (−x) "x Î [−1; 1]

$\Rightarrow I=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{1+e^x}dx=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{e^x.f\left(-x\right)}{e^x+1}dx=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{e^x.f\left(x\right)}{e^x+1}dx$

$\Rightarrow I+I=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{1+e^x}dx+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{e^x.f\left(x\right)}{e^x+1}dx=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{\left(e^x+1\right).f\left(x\right)}{e^x+1}dx$

$\Rightarrow 2I=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=4$

$\Rightarrow I=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{1+e^x}dx=2$

Vậy  $I=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{1+e^x}dx=2$.