Cho đường tròn (O; R) và 1 điểm A sao cho OA =$R\sqrt{2}$ . Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn 1 góc  $\widehat{xOy}$= 45° cắt đoạn thẳng AB và AC lần lượt tại D và E.

Chứng minh:

a) DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) $\frac{2}{3}R<DE<R$ .

Gọi BC giao OD và OE lần lượt tại H và K.
Vì OA = $R\sqrt{2}$ = OB $\sqrt{2}$= OC$\sqrt{2}$ nên tứ giác ABOC là hình vuông
Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{DOE}$= 45°, suy ra tứ giác DBOK nội tiếp
Do đó $\widehat{DKO}$= 180° – $\widehat{DBO}$= 90° hay DK ⊥ OE
Tương tự EH ⊥ OD.
Suy ra $\widehat{BDO}=\widehat{BKO}=\widehat{EDO}$ do DHKE nội tiếp
Suy ra DO là phân giác $\widehat{BDE}$. Mà AO là phân giác $\widehat{DAE}$ nên O là tâm bàng tiếp góc A của ΔADE
Do vậy DE + AD + AE = 2AB = 2R
Ta có 2R = DE + AD + AE > DE + DE = 2DE ⇒ DE < R
Lại có $\frac{2}{3}R=\frac{DE+AD+AE}{3}<\frac{DE+DE+DE}{3}=DE$

 23R=DE+AD+AE3<DE+DE+DE3=
Vậy $\frac{2}{3}R<DE<R$