Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm C thuộc đường tròn sao cho AC > CB, C khác A và B. Kẻ CH vuông góc với AB tại H; kẻ OI vuông góc với AC tại I.
a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O; R), tia OI cắt Ax tại M, chứng minh OI.OM = R2. Tính độ dài đoạn thẳng OI biết OM = 2R và R = 6cm.
a) Gọi N là trung điểm của OC
Ta có: ΔOHC vuông tại H (CH⊥AB tại H)
Mà HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OC(N là trung điểm của OC)
Nên HN = \(\frac{{OC}}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
Mà ON = CN = \(\frac{{OC}}{2}\)(N là trung điểm của OC)
Nên HN = ON = CN (1)
Ta có: ΔOCI vuông tại I (OI ⊥ AC tại I)
Mà IN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OC(N là trung điểm của OC)
Nên IN = \(\frac{{OC}}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
Mà CN = ON = \(\frac{{OC}}{2}\)(N là trung điểm của CO)
Nên IN = CN = ON (2)
Từ (1) và (2) suy ra NI = NO = NC = NH
Hay I,O,C,H cùng thuộc một đường tròn (đpcm)
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔMAO vuông tại A có AI là đường cao ứng với cạnh huyền OM, ta được:
OI.OM = OA2 mà OA = R (A ∈ (O;R))
nên OI.OM = R2 (đpcm)
Vì OM = 2R và R = 6cm nên OM = 2.6 = 12 (cm)
Thay OM = 12cm và R=6cm vào biểu thức OI.OM = R2, ta được:
OI⋅12 = 62 = 36
hay OI = 3 cm
Vậy: Khi OM = 2R và R = 6cm thì OI = 3cm.