Câu hỏi:
29/12/2023 105Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 4x – 6y + 5 = 0. Đường thẳng d đi qua điểm A(3; 2) và cắt (C) theo một dây cung ngắn nhất có phương trình là:
A. 2x – y + 2 = 0;
B. x + y – 1 = 0;
C. x – y – 1 = 0;
D. x – y + 1 = 0.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Đường tròn (C) có tâm I(2; 3), bán kính \(R = 2\sqrt 2 \).
Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng d và đường tròn (C).
Kẻ IH ⊥ d. Suy ra H là trung điểm MN. Khi đó \(HN = \frac{1}{2}MN\).
∆IHN vuông tại H: IN2 = IH2 + HN2 (Định lí Pytago)
\( \Leftrightarrow {R^2} = I{H^2} + {\left( {\frac{{MN}}{2}} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{MN}}{2}} \right)^2} = {R^2} - I{H^2}\)
Dây cung MN ngắn nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất. Tức là IA ≡ IH hay A ≡ H.
Khi đó IA ⊥ d.
Suy ra d nhận \(\overrightarrow {IA} = \left( {1; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Đường thẳng d đi qua A(3; 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {IA} = \left( {1; - 1} \right)\).
Suy ra phương trình d: 1(x – 3) – 1(y – 2) = 0
⇔ x – y – 1 = 0.
Vậy ta chọn phương án C.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Đường tròn (C) có tâm I(2; 3), bán kính \(R = 2\sqrt 2 \).
Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng d và đường tròn (C).
Kẻ IH ⊥ d. Suy ra H là trung điểm MN. Khi đó \(HN = \frac{1}{2}MN\).
∆IHN vuông tại H: IN2 = IH2 + HN2 (Định lí Pytago)
\( \Leftrightarrow {R^2} = I{H^2} + {\left( {\frac{{MN}}{2}} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{MN}}{2}} \right)^2} = {R^2} - I{H^2}\)
Dây cung MN ngắn nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất. Tức là IA ≡ IH hay A ≡ H.
Khi đó IA ⊥ d.
Suy ra d nhận \(\overrightarrow {IA} = \left( {1; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Đường thẳng d đi qua A(3; 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {IA} = \left( {1; - 1} \right)\).
Suy ra phương trình d: 1(x – 3) – 1(y – 2) = 0
⇔ x – y – 1 = 0.
Vậy ta chọn phương án C.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1; 3), B(3; 1) và có tâm nằm trên đường thẳng d: 2x – y + 7 = 0 có phương trình là:
Câu 2:
Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 2x – 6y + 5 = 0. Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: x + 2y – 15 = 0 là:
Câu 3:
Cho đường cong (Cm): x2 + y2 + (m + 2)x – (m + 4)y + m + 1 = 0. Khi m thay đổi thì tâm của đường cong (Cm) luôn nằm trên đường thẳng nào sau đây:
Câu 4:
Với giá trị nào của m thì đường thẳng ∆: 4x + 3y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn (C): x2 + y2 – 9 = 0?
