Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Vẽ đường kính CD của đường tròn (O).
a) Chứng minh rằng: OA vuông góc BC và OA // BD.
b) Gọi E là giao điểm của AD và đường tròn (O) (E khác D), H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh rằng: AE. AD = AH. AO.
a) Ta có: OB = R = OC
⇒ O nằm trên đường trung trực đoạn thẳng BC
AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
⇒ OA là đường trung trực BC
⇒ OA ⊥ BC
Tam giác DBC có DC là đường kính đường tròn ngoại tiếp
⇒ \(\widehat {DBC} = 90^\circ \) ⇒ BD ⊥ BC
mà OA ⊥ BC (cmt)
⇒ BD // OA.
b) Xét tam giác BAE và DAB:
\(\widehat A\)chung
⇒ ∆BAE ~ ∆DAB (g.g)
⇒ \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{AD}}\)
⇒ AB2 = AE.AD (1)
Tam giác ABO vuông tại B, đường cao BH
⇒ AB2 = AH.OA (2)
Từ (1) và (2) ⇒ AE.AD = AH.OA.