Cho dãy số (u_n) với  $u_n=\frac{na+2}{n+1}$. Tìm các giá trị của a để:

a) (u_n) là dãy số tăng;

Ta có:  $u_{n+1}=\frac{\left(n+1\right)a+2}{n+1+1}=\frac{\left(n+1\right)a+2}{n+2}$ 

Xét hiệu:  $u_{n+1}-u_n=\frac{\left(n+1\right)a+2}{n+2}-\frac{na+2}{n+1}=\frac{\left[\left(n+1\right)a+2\right]\left(n+1\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}-\frac{\left(na+2\right)\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$

 $=\frac{\left(n^2+2n+1\right)a+2n+2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}-\frac{\left(n^2+2n\right)a+2n+4}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{a-2}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$

Vì n ∈ ℕ^* nên (n + 1)(n + 2) > 0 nên dấu của hiệu u_n+1 – u_n phụ thuộc vào dấu của biểu thức a – 2.

a) Để (u_n) là dãy số tăng thì u_n+1 – u_n > 0 nên a – 2 > 0 ⇔ a > 2.