Cho dãy số (un) bởi: u₁ = 1 và u_n+1 = 5u_n + 8 với mọi n ≥ 1.

a) Chứng minh rằng dãy số (v_n) với v_n = u_n +2 là một cấp số nhân.

b) Dựa vào kết quả phần a) hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (u_n).

Ta có: u_n+1 = 5u_n + 8

v_n = u_n + 2

Suy ra: v_n+1 = u_n+1 + 2 = 5u_n + 8 + 2 = 5u_n + 10 = 5(u_n + 2) = 5v_n (*)

Vậy v_n là cấp số nhân với công bội q = 5.

b) Từ (*) ta có:

v₁ = u₁ + 2 = 1 + 2 = 3

v₂ = 5v₁ = 5.3 = 15

…

v_n = 5v_n–1

Số hạng tổng quát của v_n là: v_n = u₁.q^n–1 = 3.5^n–1

⇒ u_n = v_n – 2 = 3.5^n–1 – 2.