Cho đa thức P(x) = ax³ + bx² + cx + d. Với P(0) và P(1) là số lẻ. Chứng minh rằng P(x) không thể có nghiệm là số nguyên.

Ta có P(0) = a . 0³ + b . 0² + c . 0 + d = d

Vì P(0) lẻ nên d lẻ

Ta có P(1) = a . 1³ + b . 1² + c . 1 + d = a + b + c + d

Vì P(0) lẻ và d lẻ nên a + b + c chẵn

Suy ra a, b, c có thể nhận giá trị lẻ, lẻ, chẵn hoặc chẵn, chẵn, chẵn

Giả sử P(x) có nghiệm nguyên m. Khi đó

P(m) = am³ + bm² + cm + d

• Nếu m chẵn thì am³ + bm² + cm + d lẻ

Vì d lẻ nên P(m) ≠ 0

• Nếu m lẻ thì am³ + bm² + cm chẵn (vì a, b, c có thể nhận giá trị lẻ, lẻ, chẵn hoặc chẵn, chẵn, chẵn)

Vì d lẻ nên P(m) = am³ + bm² + cm + d lẻ

Suy ra P(m) ≠ 0

Do đó x = m không phải là nghiệm của P(x)

Vậy P(x) không thể có nghiệm là số nguyên.