Cho các số thực x, y thỏa mãn x² + y² – 4x + 3 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức M = x² + y².

Ta có x² + y² – 4x + 3 = 0.

⇔ x² – 4x + 4 + y² – 1 = 0.

⇔ (x – 2)² + y² = 1   (*)

Đặt $\left\{\begin{array}{l}x-2=a\\ y=b\end{array}\right.$

Khi đó (*) tương đương với: a² + b² = 1.

⇔ a² = 1 – b² ≤ 1.

⇔ –1 ≤ a ≤ 1.

Ta có M = (a + 2)² + b² = a² + b² + 4a + 4.

= 1 + 4a + 4 = 5 + 4a.

Ta có –1 ≤ a ≤ 1.

⇔ –4 ≤ 4a ≤ 4.

⇔ 1 ≤ 4a + 5 ≤ 9.

⇔ 1 ≤ M ≤ 9.

Dấu “=” xảy ra $\iff \left[\begin{array}{l}a=1\\ a=-1\end{array}\right.$

Với a = 1, ta có: b² = 1 – a² = 0 ⇔ b = 0.

Với a = 1, b = 0, ta có: x = 3, y = 0.

Với a = –1, ta có: b² = 0 ⇔ b = 0.

Với a = –1, b = 0, ta có: x = 1, y = 0.

Vậy M_max = 9 khi và chỉ khi (x, y) = (3; 0) và M_min = 1 khi và chỉ khi (x; y) = (1; 0).