Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhẩ của $P=\frac{x+1}{y^2+1}+\frac{y+1}{z^2+1}+\frac{z+1}{x^2+1}$.

Ta có: (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² ≥ 0

⇔ x² – 2xy + y² + y² – 2yz + z² + z² – 2xz + x² ≥ 0

⇔ 2x² – 2xy + 2y² – 2yz + 2z² – 2xz ≥ 0

⇔ x² + y² + z² – xy – yz – xz ≥ 0

⇔ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz ≥ 3xy + 3yz + 3xz

⇔ (x + y + z)² ≥ 3(xy + yz + xz)

Ta có

Suy ra $P\ge x+1-\frac{y\left(x+1\right)}{2}+y+1-\frac{z\left(y+1\right)}{2}+z+1-\frac{x\left(z+1\right)}{2}$

Dấu “ = ” xảy ra khi x² = y² = z² = 1 hay x = y = 1

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi x = y = z = 1.