Cho các số phức z thỏa mãn |z − 2i|  |z + 2|. Gọi z là số phức thỏa mãn |(2 − i)z + 5| nhỏ nhất. Khi đó

C. 2 < |z| < 3; 

Trả lời

Đáp án đúng là: A

Gọi M(x; y), A(0; 2), B(−2; 0) là các điểm biểu diễn số phức z; 2i và −2.

Từ giả thiết suy ra MA = MB

Suy ra M thuộc đường trung trực của AB có phương trình Δ: x + y = 0

Lại có:  $P=\left|\left(2-i\right)z+5\right|=\left|2-i\right|\left|z+\frac{5}{2-i}\right|=\sqrt{5}\left|z+2+i\right|$ 

Gọi N(−2; −1) là điểm biểu diễn số phức −2 − i suy ra  $P=\sqrt{5}MN$

Ta có P nhỏ nhất khi MN_min khi M là hình chiếu vuông góc của N trên ∆.

Khi đó phương trình MN: x − y + 1 = 0.

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}x+y=0\\ x-y+1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{-1}{2}\\ y=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

$\Rightarrow M\left(\frac{-1}{2};\frac{1}{2}\right)\Rightarrow z=\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}i$

 $\Rightarrow \left|z\right|=\sqrt{{\left(\frac{-1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$