Cho biểu thức:

$S = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x} \cdot \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}$.

a) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức S tại x = 0,1.

b*) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S.

Lời giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức $S$ là: x ≠ 0; x + 2 ≠ 0 hay x ≠ 0; x ≠ ‒2.

Ta có:

$S = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x} \cdot \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}$

$= \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.1 - \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\frac{{{x^2}}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}$

$= \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x} - x\left( {x + 2} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}$

$= \left[ {\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x} - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}} \right] - x\left( {x + 2} \right)$

$= \frac{{{x^2} + 4x + 4 - {x^2} - 6x - 4}}{x} - x\left( {x + 2} \right)$

$= \frac{{ - 2x}}{x} - x\left( {x + 2} \right)$

$= - 2 - {x^2} - 2x$

Ta thấy x = 0,1 thỏa mãn điều kiện xác định.

Do đó, giá trị của biểu thức S tại x = 0,1 là:

S = ‒ 2 ‒ 0,1² ‒ 2.0,1 = –2 – 0,01 – 0,2 = ‒2,21.

b*) Ta có: S = ‒ 2 ‒ x² ‒ 2x = ‒ (x² + 2x + 1) ‒ 1 = ‒ (x + 1)² ‒ 1.

Suy ra S đạt giá trị lớn nhất khi ‒ (x+1)² ‒ 1 đạt giá trị lớn nhất.

Mà với mọi x, ta có (x + 1)² ≥ 0 hay ‒ (x + 1)² ‒ 1 ≤ ‒1.

Vậy giá trị lớn nhất của S là ‒1 khi (x + 1)² = 0 hay x = ‒ 1 (thoả mãn điều kiện xác định).