Cho biểu thức:

$D = \left( {\frac{{x + 2}}{{3x}} + \frac{2}{{x + 1}} - 3} \right):\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}$.

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức D.

b) Tính giá trị của biểu thức D tại x = 5 947.

c*) Tìm giá trị của x để D nhận giá trị nguyên.

Lời giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức D là: 3x ≠ 0; x + 1≠ 0; $\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} \ne 0$

Xét 3x ≠ 0 ta có x ≠ 0.

Xét x + 1≠ 0 ta có x ≠ –1.

Xét $\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} \ne 0$ ta có 2 – 4x ≠ 0 và x + 1 ≠ 0, hay $x \ne \frac{1}{2}$ và x ≠ –1.

Vậy điều kiện xác định của biểu thức D là $x \ne 0;x \ne - 1;x \ne \frac{1}{2}$.

b) Ta có:

$D = \left( {\frac{{x + 2}}{{3x}} + \frac{2}{{x + 1}} - 3} \right):\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}$

$= \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) + 2.3x - 3.3x\left( {x + 1} \right)}}{{3x.\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}$

$= \frac{{{x^2} + 2x + x + 2 + 6x - 9{x^2} - 9x}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}$

$= \frac{{ - 8{x^2} + 2}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}$

$= \frac{{2\left( {1 - 4{x^2}} \right).\left( {x + 1} \right)}}{{3x\left( {x + 1} \right).\left( {2 - 4x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}$

$= \frac{{2\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}}{{3x.2\left( {1 - 2x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}$

$= \frac{{1 + 2x}}{{3x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}} = \frac{{1 + 2x - 3x + {x^2} - 1}}{{3x}}$

$= \frac{{{x^2} - x}}{{3x}} = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{3x}} = \frac{{x - 1}}{3}$.

Ta thấy x = 5 947 thỏa mãn điều kiện xác định

Do đó, giá trị của biểu thức D tại x = 5 947 là:

$D = \frac{{5947 - 1}}{3} = \frac{{5946}}{3} = 1982$ .

c*) Để D nhận giá trị nguyên thì $\frac{{x - 1}}{3}$ phải nhận giá trị nguyên.