Cho biểu thức \(M = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^6} + 1}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} - {x^2} + 1}} - \frac{{{x^2} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 3}}\).

a) Rút gọn M.

b) Tìm giá trị lớn nhất của M.

a) \(M = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^6} + 1}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} - {x^2} + 1}} - \frac{{{x^2} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 3}}\)

\( = \frac{{{x^4} + 2}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} - {x^2} + 1}} - \frac{{{x^2} + 3}}{{\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^4} + 2}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} - {x^2} + 1}} - \frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^4} + 2 + \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) - \left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}}\)

\[ = \frac{{{x^4} + 2 + {x^4} - 1 - {x^4} + {x^2} - 1}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{{x^4} + {x^2}}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{{x^2}}}{{{x^4} - {x^2} + 1}}\]

b) Nếu x = 0 thì M = 0

Nếu x khác 0, chia cả tử và mẫu của M cho x² ta được: \[M = \frac{1}{{{x^2} - 1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}\]

\[M = \frac{1}{{{x^2} - 1 + \frac{1}{{{x^2}}}}} \le \frac{1}{{2\sqrt {{x^2}.\frac{1}{{{x^2}}}} - 1}} = \frac{1}{{2 - 1}} = 1\] (áp dụng bất đẳng thức Cô–si)

Vậy M lớn nhất bằng 1 khi x² = \(\frac{1}{{{x^2}}}\) hay x⁴ = 1, tức x = 1.