Cho biểu thức A = \(\frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\).

a) Rút gọn A.

b) Tìm a để A = 2.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

a) A = \(\frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\) (điều kiện: a > 0)

A = \[\frac{{\sqrt a \left( {\sqrt {{a^3}} + 1} \right)}}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{\sqrt a \left( {2\sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a }} + 1\]

A = \[\frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {a - \sqrt a + 1} \right)}}{{a - \sqrt a + 1}} - 2\sqrt a - 1 + 1\]

A = \[\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right) - 2\sqrt a - 1 + 1\]

A = \[a + \sqrt a - 2\sqrt a - 1 + 1\]

A = \[a - \sqrt a \]

b) A = 2 thì \[a - \sqrt a \] = 2

⇔ \[a - \sqrt a \] – 2 = 0

⇔ \[a + \sqrt a - 2\sqrt a - 2 = 0\]

⇔ \[\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right) - 2\left( {\sqrt a + 1} \right) = 0\]

⇔ \[\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right) = 0\]

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\sqrt a = 2\\\sqrt a = - 1\left( L \right)\end{array} \right.\)

⇔ a = 4

Vậy a = 4 thì A = 2

c) A = \[a - \sqrt a = {\left( {\sqrt a - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4}\]

Ta thấy \[{\left( {\sqrt a - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\] với mọi a nên \[{\left( {\sqrt a - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \ge \frac{{ - 1}}{4}\] với mọi a

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \(\frac{{ - 1}}{4}\) khi \(\sqrt a = \frac{1}{2}\) hay \(a = \frac{1}{4}\).