Cho ba số dương x, y, z thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện

Trả lời

Phương pháp

Nhận xét: $P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)$

Sử dụng bất đẳng thức $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}$  để đánh giá.

Cách giải:

Ta có:$P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)$

Mà $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge \frac{9}{x+y+z+3}=\frac{9}{4}$

$\Rightarrow P\le 3-\frac{9}{4}\text{=}\frac{3}{4}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$ .

Vậy $\max P=\frac{3}{4}\iff x=y=z=\frac{1}{3}.$