Cho Ax, By là các tiếp tuyến của \(\left( {O;\frac{{AB}}{2}} \right)\). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt Ax, By, AB lần lượt tại C, D, E. AD và BC cắt nhau tại N
a) Tính AC. BD theo AB
b) Chứng minh MN vuông góc AB
c) So sánh 2 tỉ số \(\frac{{CM}}{{CE}};\frac{{DM}}{{DE}}\).
d) Chứng minh rằng đường thẳng EN đi qua trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD.
a) Xét (O) có CA, CM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C
Suy ra CA = CM, OC là tia phân giác của \(\widehat {AOM}\)
Do đó \(\widehat {COM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM}\)
Xét (O) có DB, DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D
Suy ra DB = DM, OD là tia phân giác của \(\widehat {BOM}\)
Do đó \(\widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {BOM}\)
Ta có: \(\widehat {COD} = \widehat {COM} + \widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM} + \frac{1}{2}\widehat {BOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ \)
Do đó tam giác COD vuông tại O
Mà OM ⊥ CD
Suy ra OM2 = CM . DM (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà CA = CM, DB = DM, \(OM = \frac{1}{2}AB\)
Suy ra \(CA.DB = \frac{{A{B^2}}}{4}\)
b) Vì AC // BD nên \(\frac{{AC}}{{B{\rm{D}}}} = \frac{{AN}}{{N{\rm{D}}}} = \frac{{CN}}{{NB}}\)
Mà CA = CM, DB = DM (chứng minh câu a)
Suy ra \(\frac{{CM}}{{DM}} = \frac{{AN}}{{N{\rm{D}}}}\)
Xét tam giác ACD có \(\frac{{CM}}{{DM}} = \frac{{AN}}{{N{\rm{D}}}}\)
Suy ra MN // CA
Mà AC ⊥ AB
Do đó MN ⊥ AB
c) Xét tam giác ACE vuông tại A có
\[\sin \widehat E = \frac{{CA}}{{CE}}\]
Mà CA = CM
Suy ra \[\sin \widehat E = \frac{{CM}}{{CE}}\] (1)
Xét tam giác EBD vuông tại B có
\[\sin \widehat E = \frac{{B{\rm{D}}}}{{DE}}\]
Mà BD = DM
Suy ra \[\sin \widehat E = \frac{{DM}}{{DE}}\] (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{CM}}{{CE}} = \frac{{DM}}{{DE}}\)
d) Gọi giao điểm của MN với AB là H
Giao điểm của AN với AC và BD lần lượt là I và K
Xét (O) đường kính AB có MN ⊥ AO
Mà MN cắt AO tại H
Suy ra H là trung điểm của AO
Xét tam giác DBE có MH // BD
Suy ra \(\frac{{MN}}{{DK}} = \frac{{NH}}{{BK}}\)
Do đó \(\frac{{MN}}{{NH}} = \frac{{DK}}{{BK}}\) (3)
Gọi giao điểm của MB và HD là E
Xét tam giác DKE có MN // KD
Suy ra \(\frac{{NH}}{{DK}} = \frac{{NE}}{{EK}}\)
Xét tam giác BKE có MN // BK
Suy ra \(\frac{{NM}}{{BK}} = \frac{{NE}}{{EK}}\)
Mà \(\frac{{NH}}{{DK}} = \frac{{NE}}{{EK}}\)
Do đó \(\frac{{NH}}{{DK}} = \frac{{MN}}{{BK}}\)
Hay \(\frac{{NM}}{{MH}} = \frac{{BK}}{{DK}}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{{DK}}{{BK}} = \frac{{BK}}{{DK}}\)
Do đó DK = BK, MN = NH
Hay EN đi qua trung điểm K của đoạn thẳng BD
Xét tam giác EHM có CA // MH
Suy ra \(\frac{{CI}}{{MN}} = \frac{{AI}}{{NH}}\)
Mà MN = NH
Suy ra CI = AI
Hay EN đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AC
Vậy EN đi qua trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD.