Câu hỏi:
19/01/2024 47Cho ∆ABC có a.sinA + b.sinB + c.sinC = ha + hb + hc. Khi đó ∆ABC là:
A. Tam giác cân;
B. Tam giác đều;
C. Tam giác thường;
D. Tam giác vuông.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Diện tích ∆ABC là: \(S = \frac{1}{2}a.{h_a} = \frac{1}{2}b.{h_b} = \frac{1}{2}c.{h_c}\).
Suy ra \({h_a} = \frac{{2S}}{a};\,\,{h_b} = \frac{{2S}}{b};\,\,{h_c} = \frac{{2S}}{c}\).
Diện tích ∆ABC là:
\(S = \frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}ac.\sin B = \frac{1}{2}ab.\sin C\).
Suy ra \(\sin A = \frac{{2S}}{{bc}};\,\,\sin B = \frac{{2S}}{{ac}};\,\,\sin C = \frac{{2S}}{{ab}}\).
Ta có a.sinA + b.sinB + c.sinC = ha + hb + hc
\( \Leftrightarrow a.\frac{{2S}}{{bc}} + b.\frac{{2S}}{{ac}} + c.\frac{{2S}}{{ab}} = \frac{{2S}}{a} + \frac{{2S}}{b} + \frac{{2S}}{c}\)
\( \Leftrightarrow 2S.\left( {\frac{a}{{bc}} + \frac{b}{{ac}} + \frac{c}{{ab}}} \right) = 2S.\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{a}{{bc}} + \frac{b}{{ac}} + \frac{c}{{ab}} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}} = \frac{{bc + ac + ab}}{{abc}}\)
⇔ a2 + b2 + c2 = bc + ac + ab
⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2bc + 2ac + 2ab
⇔ (a2 – 2ab + b2) + (a2 – 2ac + c2) + (b2 – 2bc + c2) = 0
⇔ (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 = 0
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\a - c = 0\\b - c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\a = c\\b = c\end{array} \right.\)
⇔ a = b = c.
Vậy ∆ABC là tam giác đều.
Do đó ta chọn phương án B.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Diện tích ∆ABC là: \(S = \frac{1}{2}a.{h_a} = \frac{1}{2}b.{h_b} = \frac{1}{2}c.{h_c}\).
Suy ra \({h_a} = \frac{{2S}}{a};\,\,{h_b} = \frac{{2S}}{b};\,\,{h_c} = \frac{{2S}}{c}\).
Diện tích ∆ABC là:
\(S = \frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}ac.\sin B = \frac{1}{2}ab.\sin C\).
Suy ra \(\sin A = \frac{{2S}}{{bc}};\,\,\sin B = \frac{{2S}}{{ac}};\,\,\sin C = \frac{{2S}}{{ab}}\).
Ta có a.sinA + b.sinB + c.sinC = ha + hb + hc
\( \Leftrightarrow a.\frac{{2S}}{{bc}} + b.\frac{{2S}}{{ac}} + c.\frac{{2S}}{{ab}} = \frac{{2S}}{a} + \frac{{2S}}{b} + \frac{{2S}}{c}\)
\( \Leftrightarrow 2S.\left( {\frac{a}{{bc}} + \frac{b}{{ac}} + \frac{c}{{ab}}} \right) = 2S.\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{a}{{bc}} + \frac{b}{{ac}} + \frac{c}{{ab}} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}} = \frac{{bc + ac + ab}}{{abc}}\)
⇔ a2 + b2 + c2 = bc + ac + ab
⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2bc + 2ac + 2ab
⇔ (a2 – 2ab + b2) + (a2 – 2ac + c2) + (b2 – 2bc + c2) = 0
⇔ (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 = 0
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\a - c = 0\\b - c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\a = c\\b = c\end{array} \right.\)
⇔ a = b = c.
Vậy ∆ABC là tam giác đều.
Do đó ta chọn phương án B.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho biết sinα – cosα = \(\frac{1}{{\sqrt 5 }}\)(0° ≤ α, β ≤ 180°). Giá trị của \(E = \sqrt {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \) bằng:
Câu 2:
Cho biết \(2\cos \alpha + \sqrt 2 \sin \alpha = 2\), với 0° < α < 90°. Giá trị của cotα bằng:
Câu 3:
Cho ∆ABC và các khẳng định sau:
(I) b2 – c2 = a(b.cosC – c.cosB);
(II) (b + c)sinA = a(sinB + sinC);
(III) ha = 2R.sinB.sinC;
(IV) S = R.r.(sinA + sinB + sin C);
Số khẳng định đúng là:
Cho ∆ABC và các khẳng định sau:
(I) b2 – c2 = a(b.cosC – c.cosB);
(II) (b + c)sinA = a(sinB + sinC);
(III) ha = 2R.sinB.sinC;
(IV) S = R.r.(sinA + sinB + sin C);
Số khẳng định đúng là:
Câu 4:
Cho ∆ABC thỏa mãn \[\sin A = \frac{{\sin B + \sin C}}{{\cos B + \cos C}}\]. Khi đó ∆ABC là:
Câu 5:
Từ vị trí A, người ta quan sát một cái cây cao mọc vuông góc với mặt đất như hình vẽ.
Biết vị trí quan sát cách mặt đất một khoảng AH = 4 m và khoảng cách từ chân đường vuông góc của vị trí quan sát A trên mặt đất tới gốc cây là HB = 20 m, \(\widehat {BAC} = 45^\circ \). Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây?
Câu 6:
Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát được đỉnh C của ngọn núi. Biết rằng độ cao của tòa nhà là AB = 70 m, phương nhìn AC tạo với phương ngang AH một góc bằng 30°, phương nhìn BC tạo với phương ngang BD một góc bằng 15°30’.
Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất gần nhất với giá trị nào sau đây?
Câu 7:
Giả sử CD = h là chiều cao của tháp, trong đó C là chân tháp.
Một người đứng tại vị trí A (\(\widehat {CAD} = 63^\circ ),\) không sang được bờ bên kia để đo chiều cao h của tháp nên chọn thêm một điểm B (ba điểm A, B, C thẳng hàng) cách A một khoảng 24 m và \[\widehat {CBD} = 48^\circ \] để tính toán được chiều cao của tháp. Chiều cao h của tháp gần nhất với:
Câu 8:
Cho biết tanα = –3 (0° ≤ α ≤ 180°). Giá trị của \(H = \frac{{6\sin \alpha - 7\cos \alpha }}{{6\cos \alpha + 7\sin \alpha }}\) bằng:
Câu 9:
Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5 m. Từ vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten dưới góc 50° và 40° so với phương nằm ngang.
Chiều cao của tòa nhà gần nhất với giá trị nào sau đây?
