Cho a, b là các số tự nhiên khác 0. Biết 1 > $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>\frac{7}{10}$ .

Tìm giá trị lớn nhất của A = $\frac{2020}{a+b}$ .

Do $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<1$  suy ra a; b >1 không mất tính tổng quát giả sử 1 < a ≤ b

Suy ra: 1 > $\frac{1}{a}\ge \frac{1}{b}$

Ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le \frac{1}{a}+\frac{1}{a}$   hay  $\frac{7}{10}\le \frac{2}{a}$ ⇔ $a\le 2\frac{6}{7}$

Do a ∈ ℕ và a > 1 nên a = 2 (1)

Với a = 2 ta có:

$\frac{7}{10}<\frac{1}{2}+\frac{1}{b}<1$ ⇔ $\frac{1}{5}<\frac{1}{b}<\frac{1}{2}$  ⇒ b ∈ {3; 4} (2)

Từ (1) và (2) ta có: min (a + b) = 2 + 3 = 5

Vậy giá trị lớn nhất của A = $\frac{2020}{5}=404.$