Cho a, b, c Î ℝ thỏa mãn a² + b² + c² = a³ + b³ + c³ = 1.

Tính a²⁰¹² + b²⁰¹³ + c²⁰¹⁴.

Lời giải

Ta có: a² + b² + c² = 1 Þ a², b², c² £ 1 Þ a, b, c £ 1

Lại có: a² + b² + c² = a³ + b³ + c³

Û a³ − a² + b³ − b² + c³ − c² = 0

Û a²(a − 1) + b²(b − 1) + c²(c − 1) = 0.

Mà do \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2},\;{b^2},\;{c^2} \ge 0\\a,\;b,\;c \le 1\end{array} \right. \Rightarrow {a^2}\left( {a - 1} \right) + {b^2}\left( {b - 1} \right) + {c^2}\left( {c - 1} \right) \le 0\).

Suy ra phải có: a²(a − 1) = b²(b − 1) = c²(c − 1) = 0.

Kết hợp giả thiết suy ra 3 số a, b, c phải có 1 số bằng 1 và 2 số còn lại bằng 0.

Khi đó a²⁰¹² + b²⁰¹³ + c²⁰¹⁴ = 1.