Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng

a²b + b²c + c²a ≥ \(\frac{{9{a^2}{b^2}{c^2}}}{{1 + 2{a^2}{b^2}{c^2}}}\).

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

a²b + b²c + c²a ≥ \(\frac{{9{a^2}{b^2}{c^2}}}{{1 + 2{a^2}{b^2}{c^2}}}\)

⇔ 2(a²b + b²c + c²a) + \(\frac{1}{{a{b^2}}} + \frac{1}{{b{c^2}}} + \frac{1}{{c{a^2}}} \ge 9\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho 3 số dương ta có:

a²b + a²b + \[\frac{1}{{a{b^2}}} \ge 3\sqrt {{a^2}b.{a^2}b.\frac{1}{{a{b^2}}}} = 3a\]

Tương tự: b²c + b²c + \[\frac{1}{{b{c^2}}} \ge 3\sqrt {{b^2}c.{b^2}c.\frac{1}{{b{c^2}}}} = 3b\]

c²a + c²a + \[\frac{1}{{c{a^2}}} \ge 3\sqrt {{c^2}a.{c^2}a.\frac{1}{{c{a^2}}}} = 3c\]

Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế, ta được:

2(a²b + b²c + c²a) + \(\frac{1}{{a{b^2}}} + \frac{1}{{b{c^2}}} + \frac{1}{{c{a^2}}} \ge 3\left( {a + b + c} \right) = 3.3 = 9\)

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.

Vậy a²b + b²c + c²a ≥ \(\frac{{9{a^2}{b^2}{c^2}}}{{1 + 2{a^2}{b^2}{c^2}}}\).