Cho a; b; c là các số thực không âm có: a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 3(a^3 + b^3 + c^3) lớn hơn bằng a^2 + b^2 + c^2.
Cho a; b; c là các số thực không âm có: a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Bổ đề: Với a, b > 0 thì a3 + b3 ³ ab(a + b)
BĐT này đúng vì tương đương với (a − b)2(a + b) ³ 0
Do đó, thực hiện tương tự với bộ (b3, c3); (c3, a3) ta có:
2(a3 + b3 + c3) ³ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (1)
Ta có: (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
(a + b + c)(a2 + b2 + c2) £ a3 + b3 + c3 + 2(a3 + b3 + c3) = 3(a3 + b3 + c3)
Vì a + b + c = 1 nên điều trên tương đương với
a2 + b2 + c2 £ 3(a3 + b3 + c3)
Dấu bằng xảy ra khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\)
Vậy a2 + b2 + c2 £ 3(a3 + b3 + c3) (đpcm).