Cho a, b, c là ba số thực dương, a > 1 thỏa mãn

Cho a, b, c là ba số thực dương, a > 1 thỏa mãn

${\log }_a^2\left(bc\right)+{\log }_a{\left(b^3{c}^3+\frac{bc}{4}\right)}^2+4+\sqrt{9-c^2}=0$

Khi đó, giá trị của biểu thức T = a + 3b + 2c gần với giá nào nhất sau đây?

Trả lời

Áp dụng bất đẳng thức ${(x+y)}^2\ge 4xy,$ ta được 

${\left(b^3{c}^3+\frac{bc}{4}\right)}^2\ge b^4{c}^4\Rightarrow {\log }_a{\left(b^3{c}^3+\frac{bc}{4}\right)}^2\ge 4{\log }_a\left(bc\right).$

Do đó với $\forall a>1,b,c>0$

${\log }_a^2\left(bc\right)+{\log }_a{\left(b^3{c}^3+\frac{bc}{4}\right)}^2+4+\sqrt{9-c^2}\ge {\log }_a^2\left(bc\right)+4{\log }_a\left(bc\right)+4+\sqrt{9-c^2}$

$\iff {\log }_a^2\left(bc\right)+{\log }_a{\left(b^3{c}^3+\frac{bc}{4}\right)}^2+4+\sqrt{9-c^2}\ge {\left[{\log }_a\left(bc\right)+2\right]}^2+\sqrt{9-c^2}\ge 0.$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}{b}^3{c}^3=\frac{bc}{4}\\ {\log }_a\left(bc\right)=-2\\ c^2=9\\ a>1\\ b>0\\ c>0\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{2}\\ b=\frac{1}{6}\\ c=3\end{array}\right.\right..$

Khi đó $T=a+3b+2c=\sqrt{2}+\frac{1}{2}+6\approx 7,91.$ Vậy giá trị của T gần 8 nhất.

Chọn A