Cho a, b, c khác 0 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$ .

Chứng minh (a + b)(b + c)(c + a) = 0.

Ta có:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$$\iff \frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac{1}{a+b+c}$

⇔ (a+b+c)(ab+bc+ac)=abc

⇔ a²b + abc + a²c + ab² + b²c + abc + abc + bc² + ac² = abc

⇔ (a²b + ab²) + b²c + (ac² + bc²) + a²c + 2abc = 0

⇔ (a²b + ab²) + (b²c + abc) + (ac² + bc²) + (a²c + abc) = 0

⇔ ab(a + b) + bc(b + a) + c²(a + b) + ac(a + b) = 0

⇔ (a + b)(ab + bc + c² + ac) = 0

⇔ (a + b)[(ab + bc) + (c² + ac)] = 0

⇔ (a + b)[b(a + c) + c(c + a)] = 0

⇔ (a + b)(a + c)(b + c) = 0

Vậy với a, b, c khác 0 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$  thì (a + b)(b + c)(c + a) = 0.