Cho A = $\frac{3}{2^2}+\frac{8}{3^2}+\frac{15}{4^2}+\mathrm{...}+\frac{{2023}^2-1}{{2023}^2}$  . Chứng minh A có giá trị không phải là một số tự nhiên.

A = $\frac{3}{2^2}+\frac{8}{3^2}+\frac{15}{4^2}+\mathrm{...}+\frac{{2023}^2-1}{{2023}^2}$

A = $\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+\frac{4^2-1}{4^2}+\mathrm{...}+\frac{{2023}^2-1}{{2023}^2}$

A = $1-\frac{1}{2^2}+1-\frac{1}{3^2}+1-\frac{1}{4^2}+\mathrm{...}+1-\frac{1}{{2023}^2}$

A = $2022-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{{2023}^2}\right)$

Xét $\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{{2023}^2}=\frac{1}{2.2}+\frac{1}{3.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{2023.2023}<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{2022.2023}$

Mà $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{2022.2023}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\mathrm{...}+\frac{1}{2022}-\frac{1}{2023}=1-\frac{1}{2023}<1$

Vậy A không phải là số tự nhiên.