Cho 2 tam giác ABC và A'B'C' lần lượt có các trọng tâm là G và G'. Chứng minh $\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=3\overrightarrow{GG\text{'}}$

Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để 2 tam giác có cùng trọng tâm

$\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=3\overrightarrow{GG\text{'}}$

⇔ $\overrightarrow{GA\text{'}}-\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB\text{'}}-\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC\text{'}}-\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{GG\text{'}}$

⇔ $\left(\overrightarrow{GA\text{'}}+\overrightarrow{GB\text{'}}+\overrightarrow{GC\text{'}}\right)-\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=3\overrightarrow{GG\text{'}}$

⇔ $\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}A\text{'}}+\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}B\text{'}}+\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}C\text{'}}=3\overrightarrow{GG\text{'}}$

⇔ $3\overrightarrow{GG\text{'}}+\left(\overrightarrow{G\text{'}A\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}B\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}C\text{'}}\right)=3\overrightarrow{GG\text{'}}$

⇔ $3\overrightarrow{GG\text{'}}=3\overrightarrow{GG\text{'}}$ (đpcm)

Vậy điều kiện cần và đủ để 2 tam giác có cùng trọng tâm là $\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=3\overrightarrow{GG\text{'}}$ .