Cho 2 số thực x, y thỏa mãn \({\log _2}\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{3xy + {x^2}}} + {x^2} + 2{y^2} + 1 \le 3xy\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{2{x^2} - xy + 2{y^2}}}{{2xy - {y^2}}}\).

A. \(\frac{3}{2}\);

B. \(\frac{5}{2}\);

C. \(\frac{1}{2}\);

D. \(\frac{7}{2}\).

Đáp án đúng là: B

Biến đổi giả thiết ta có:

\({\log _2}\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{3xy + {x^2}}} + 1 + 2{x^2} + 2{y^2} \le 3xy + {x^2}\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{2{x^2} + 2{y^2}}}{{3xy + {x^2}}} + 2{x^2} + 2{y^2} \le 3xy + {x^2} - 1\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2{x^2} + 2{y^2}} \right) + 2{x^2} + 2{y^2} \le {\log _2}\left( {3xy + {x^2}} \right) + 3xy + {x^2}\)

⇔ 2x² + 2y² ≤ 3xy + x²

⇔ x² – 3xy + 2y² ≤ 0

\( \Leftrightarrow 1 \le \frac{x}{y} \le 2\)

Khi đó \(P = \frac{{2\frac{x}{y} - \frac{x}{y} + 2}}{{\frac{{2x}}{y} - 1}} = f\left( {\frac{x}{y}} \right) \ge f\left( {\frac{3}{2}} \right) = \frac{5}{2}\).