Cho \(\frac{{1 + \cos B}}{{\sin B}} = \frac{{2a + c}}{{\sqrt {4{a^2} - {c^2}} }}\). Với a, b, c là độ dài cạnh của tam giác. Hỏi tam giác thỏa mãn đẳng thức là tam giác gì?

\(\frac{{1 + \cos B}}{{\sin B}} = \frac{{2a + c}}{{\sqrt {4{a^2} - {c^2}} }}\)

⇔ \[{\left( {\frac{{1 + \cos B}}{{\sin B}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{2a + c}}{{\sqrt {4{a^2} - {c^2}} }}} \right)^2}\]

⇔ \[\frac{{1 + 2\cos B + {{\cos }^2}B}}{{{{\sin }^2}B}} = \frac{{4{a^2} + 4ac + {c^2}}}{{4{a^2} - {c^2}}}\]

⇔ \[\frac{{2 + 2\cos B}}{{{{\sin }^2}B}} - 1 = \frac{{4{a^2} + 4ac + {c^2}}}{{4{a^2} - {c^2}}}\]

⇔ \[\frac{{2 + 2\cos B}}{{{{\sin }^2}B}} = \frac{{4{a^2} + 4ac + {c^2}}}{{4{a^2} - {c^2}}} + 1\]

⇔ \[\frac{{2 + 2\cos B}}{{{{\sin }^2}B}} = \frac{{4{a^2} + 4ac + {c^2} + 4{a^2} - {c^2}}}{{4{a^2} - {c^2}}}\]

⇔\[\frac{{2 + 2\cos B}}{{{{\sin }^2}B}} = \frac{{8{a^2} + 4ac}}{{4{a^2} - {c^2}}}\]

⇔\[\frac{{2\left( {1 + \cos B} \right)}}{{\left( {1 + \cos B} \right)\left( {1 - \cos B} \right)}} = \frac{{4a\left( {2a + c} \right)}}{{\left( {2a + c} \right)\left( {2a - c} \right)}}\]

⇔ \[\frac{2}{{1 - \cos B}} = \frac{{4a}}{{2a - c}}\]

⇔ \[\frac{1}{{1 - \cos B}} = \frac{{2a}}{{2a - c}}\]

⇔ 1 – cosB = 1 – \(\frac{c}{{2a}}\)

⇔ cosB = \(\frac{c}{{2a}}\)

⇔ \[\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{c}{{2a}}\]

⇔ a² + c² – b² = c²

⇔ a² = b²

⇔ a = b

Vậy tam giác cân.