c) Khi A di động trên đường tròn (O; 3R), gọi M là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh M di động trên một đường tròn cố định.

c) Ta có: OC ⊥ CA, BM ⊥ CA nên OC // BM.

Tương tự ta có OB // CM.

Xét tứ giác OBMC có OC // BM và OB // CM nên OBMC là hình bình hành.

Lại có OB = OC nên OBMC là hình thoi.

Do đó OM, BC vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường, gọi là H.

Khi đó OM = 2OH.

Xét DOBA có đường cao BH, theo hệ thức lượng ta có:

OB² = OH.OA, suy ra $OH=\frac{O{B}^2}{OA}=\frac{R^2}{3R}=\frac{R}{3}$

Do đó $OM=2OH=\frac{2R}{3}$.

Vậy khi A di động trên đường tròn (O; 3R) thì M di động trên đường tròn $\left(O;\frac{2R}{3}\right)$.