Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ( 2 + căn bậc hai 3 ) ^x + m ( 2- căn bậc hai 3 )^x= 1

Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ${\left(2+\sqrt{3}\right)}^x+m{\left(2-\sqrt{3}\right)}^x=1$ có hai nghiệm phân biệt là khoảng (a;b). Tính T = 3a + 8b.

Trả lời

Nhận xét: ${(2+\sqrt{3})}^x{(2-\sqrt{3})}^x=1.$ Đặt $t={(2+\sqrt{3})}^x,t>0\Rightarrow {(2-\sqrt{3})}^x=\frac{1}{t}.$

Khi đó phương trình trở thành $t+m\cdot \frac{1}{t}=1\iff t^2+m=t\iff m=-t^2+t\iff m=f\left(t\right).$

Bài toán tương đương: Tìm m để phương trình $m=f\left(t\right)$ có hai nghiệm dương phân biệt. Ta có $f\left(t\right)=-t^2+t\Rightarrow f^{\text{'}}\left(t\right)=-2t+1;f^{\text{'}}\left(t\right)=0\iff t=\frac{1}{2}>0.$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có 2 nghiệm khi $0<m<\frac{1}{4}.$

Vậy $m\in \left(0;\frac{1}{4}\right)$ từ đó ta có $a=0,b=\frac{1}{4}$ 

$\Rightarrow T=3a+8b=2.$

Chọn C