Chứng minh rằng trong tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC là đường cao

Luyện tập 2 trang 81 Toán 7 Tập 2:

a) Chứng minh rằng trong tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác đó.

b) Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác.

Trả lời

a)

Gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó M nằm trên đường trung trực của BC (1)

Do $∆$ABC cân tại A nên AB = AC (tính chất tam giác cân)

Do đó A nằm trên đường trung trực của BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của BC nên AM ⊥ BC.

Vì vậy AM là đường cao của tam giác ABC.

Xét $∆$ABM và $∆$ACM có:

AB = AC (do $∆$ABC cân tại A),

AM là cạnh chung

BM = CM (do M là trung điểm của BC),

Do đó $∆$ABM = $∆$ACM (c.c.c)

Suy ra $\widehat{MAB}=\widehat{MAC}$ (hai góc tương ứng)

Nên AM là tia phân giác của góc BAC.

Vậy đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC.

b)

Giả sử $∆$ABC đều có O là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Suy ra O là giao điểm của ba đường trung trực của $∆$ABC.

Hay AO, BO, CO lần lượt là đường trung trực của các cạnh BC, AC, AB.

Do $∆$ABC đều nên $∆$ABC cân tại A.

Do đó theo câu a), ba đường trung trực AO, BO, CO của các cạnh BC, AC, AB lần lượt là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A, đỉnh B, đỉnh C của DABC.

Mà ba đường phân giác AO, BO, CO cắt nhau tại O nên O cách đều ba cạnh của tam giác.

Vậy trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 33: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

Luyện tập chung trang 71

Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến. Ba đường phân giác trong một tam giác

Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

Luyện tập chung trang 83

Bài tập cuối chương 9